下側（外側）の葉っぱはどんどん枯れて、中央から新葉が出るようなら問題ないです。
3号鉢というとだいたい9cmなのですが、苗の大きさが6～7cmあれば丁度いいのですが、5cm以下とかであればすこし大きいので、もう少し小さい鉢を選んでください。
また、慣れないうちは素焼き（テラコッタ含む）を使うよりかはプラスチックの鉢のほうが軽く、水やりをしたあとと、水が完全に乾いたときの重さが明確に違うのがはっきりわかるのでおすすめです。
お近くにあれば、なのですが、ダイソーが取り扱っている白いスクウェア鉢だと、それなりに見栄えも良いし、水はけも悪くないのでおすすめです。ちなみに、3号と、3.5号と書いてありますが、3号鉢は2.5号（7cm）鉢相当のサイズ、3.5号は3号鉢（8.5cm）サイズです。
これは根っこがまだ生きている用に見えるので、根出しは不要です。新しい鉢に植え替えたら、2～3回は水やりは控えめにして、土が完全に乾いてから3日くらいあとに水やりを。その回数を過ぎたら、鉢底からたっぷり水があふれるくらいに水やりをすれば大丈夫なはずです。
そろそろ涼しくなるので、ぐんぐん成長するはずですよ。

@Yanakazu ありがとうございます！
DAISOが近くにあるので、やってみたいと思います！
ハオルチアはほかの多肉さんより、本当繊細で難しいですが、頑張ってみたいと思います！